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κ-small site 上の層の圏は κ-presentable

本記事では、以下の命題を示します :

命題. κ\kappa を正則基数とし、(C,J)(\mathsf{C}, J) を κ\kappa-small site とする。 このとき、層の圏 Shv(C,J)\mathsf{Shv}(\mathsf{C}, J) は κ\kappa-presentable category である。

ここで、site (C,J)(\mathsf{C}, J) が κ\kappa-small であるとは、C\mathsf{C} が κ\kappa-small であること、すなわち C\mathsf{C} が small でありかつ ∣Mor(C)∣<κ\lvert \mathrm{Mor}(\mathsf{C}) \rvert < \kappa となることをいいます。 また、κ\kappa-presentable category は locally κ\kappa-presentable category と呼ばれることもあります。

以下、次の記法を固定します :

  • κ\kappa を正則基数とする。

  • (C,J)(\mathsf{C}, J) を κ\kappa-small site とする。

  • small category D\mathsf{D} に対して、P(D)\mathsf{P}(\mathsf{D}) を D\mathsf{D} 上の前層圏とし、よ:D→P(D)\text{よ} : \mathsf{D} \to \mathsf{P}(\mathsf{D}) を米田埋込とする。

  • ι:Shv(C,J)↪P(C)\iota : \mathsf{Shv}(\mathsf{C}, J) \hookrightarrow \mathsf{P}(\mathsf{C}) を包含関手とする。 いま C\mathsf{C} が small だから ι\iota は左随伴（層化関手）をもち、それを

    L:P(C)→Shv(C,J) L : \mathsf{P}(\mathsf{C}) \to \mathsf{Shv}(\mathsf{C}, J)

    で表す。

  • 正則基数 λ\lambda と圏 D\mathsf{D} に対して、D\mathsf{D} の λ\lambda-compact object 全体のなす D\mathsf{D} の充満部分圏を Dλ\mathsf{D}^\lambda で表す。

まず、証明で用いる一般的な補題を用意しておきます :

補題 1. λ\lambda を無限基数とし、D\mathsf{D} を圏とする。 このとき、D\mathsf{D} の λ\lambda-compact object の λ\lambda-small colimit は再び λ\lambda-compact である。

証明の概略 : Set\mathsf{Set} において λ\lambda-filtered colimit と λ\lambda-small limit が交換することからしたがう。

補題 2. λ\lambda を正則基数とし、D\mathsf{D} を圏とする。 このとき、D\mathsf{D} における任意の small colimit は、λ\lambda-small colimit の λ\lambda-filtered colimit として表せる。

証明の概略 : small category の λ\lambda-small subcategory 全体の集合に包含関係により順序を入れてできる順序集合は、λ\lambda の正則性から λ\lambda-directed になる（すなわち、濃度が λ\lambda 未満の任意の部分集合の上界が存在する）。 これを用いればよい。

次の主張 A から命題がしたがうことを示します :

主張 A. 合成 C→L∘よShv(C,J)\mathsf{C} \xrightarrow{L \circ \text{よ}} \mathsf{Shv}(\mathsf{C}, J) の essential image は Shv(C,J)κ\mathsf{Shv}(\mathsf{C}, J)^\kappa に含まれる。

主張 A ⇒\Rightarrow 命題 : Shv(C,J)\mathsf{Shv}(\mathsf{C}, J) は locally small cocomplete category P(C)\mathsf{P}(\mathsf{C}) の reflective subcategory だから、同じく locally small cocomplete である。 よって、あとは Shv(C,J)\mathsf{Shv}(\mathsf{C}, J) を κ\kappa-filtered colimit で生成する Shv(C,J)\mathsf{Shv}(\mathsf{C}, J) の κ\kappa-compact object の集合が存在すればよい。

  1. 主張 A と補題 1 を合わせると、Lよ(U)L\text{よ}(U) という形の対象たちの Shv(C,J)\mathsf{Shv}(\mathsf{C}, J) における κ\kappa-small colimit は κ\kappa-compact だとわかる。
  2. F∈Shv(C,J)F \in \mathsf{Shv}(\mathsf{C}, J) なら F≅Lι(F)F \cong L \iota(F) で、ι(F)\iota(F) は P(C)\mathsf{P}(\mathsf{C}) において よ(U)\text{よ}(U) たちの small colimit で表せるから、FF は Shv(C,J)\mathsf{Shv}(\mathsf{C}, J) において Lよ(U)L\text{よ}(U) たちの small colimit で表せる。
  3. 以上の議論 1, 2 と補題 2 を合わせると、FF は Shv(C,J)\mathsf{Shv}(\mathsf{C}, J) において κ\kappa-compact object の κ\kappa-filtered colimit で表されることがわかる。
  4. C\mathsf{C} は small だから、Lよ(U)L\text{よ}(U) という形の対象たちの Shv(C,J)\mathsf{Shv}(\mathsf{C}, J) における κ\kappa-small colimit として得られる対象全体のなす Shv(C,J)\mathsf{Shv}(\mathsf{C}, J) の充満部分圏は essentially small である。 よって、3 より Shv(C,J)\mathsf{Shv}(\mathsf{C}, J) は κ\kappa-presentable である。

以下、上の主張 A を示します。 ここまでは、C\mathsf{C} が small なことは用いましたが、κ\kappa-small であることは用いていませんでした。 ここでその仮定を使うことになります。 すなわち、上の主張 A は、C\mathsf{C} のサイズで representable の sheafification の “サイズ” を評価できると言っているのだと解釈できます。

復習 (sheaf condition). F∈P(C)F \in \mathsf{P}(\mathsf{C}) が Shv(C,J)\mathsf{Shv}(\mathsf{C}, J) に属することは、FF が次の条件をみたすことと同値である : 任意の U∈CU \in \mathsf{C} と UU 上の任意の covering sieve C/U(0)∈J(U)\mathsf{C}_{/U}^{(0)} \in J(U) に対して、よ(U)\text{よ}(U) の subobject i:S↪よ(U)i : S \hookrightarrow \text{よ}(U) を

S(V)≔{(V→U)∈C/U(0)}⊆(よ(U))(V) S(V) \coloneqq \{(V \to U) \in \mathsf{C}_{/U}^{(0)} \} \subseteq (\text{よ}(U))(V)

により定めたとき、ii との合成により定まる写像

HomP(C)(よ(U),F)→i∗HomP(C)(S,F)inSet \mathrm{Hom}_{\mathsf{P}(\mathsf{C})}(\text{よ}(U), F) \xrightarrow{i^*} \mathrm{Hom}_{\mathsf{P}(\mathsf{C})}(S, F) \quad \textsf{in} \quad \mathsf{Set}

が全単射になる。

補題 3. 上の復習の状況において、

S≅colim(V→U)∈C/U(0)よ(V)inP(C) S \cong \mathop{\mathrm{colim}}\limits_{(V \to U) \in \mathsf{C}_{/U}^{(0)}} \text{よ}(V) \quad \textsf{in} \quad \mathsf{P}(\mathsf{C})

が成り立つ。 すなわち、SS は合成

C/U(0)⊆C/U→forgetC→よP(C) \mathsf{C}_{/U}^{(0)} \subseteq \mathsf{C}_{/U} \xrightarrow{\text{forget}} \mathsf{C} \xrightarrow{\text{よ}} \mathsf{P}(\mathsf{C})

の colimit である。

証明 : C\mathsf{C} が small だから covering sieve C/U(0)\mathsf{C}_{/U}^{(0)} も small であり、よって補題の主張の colimit は存在することに注意する。 米田の補題と colimit の普遍性より canonical な射

colim(V→U)∈C/U(0)よ(V)→SinP(C) \mathop{\mathrm{colim}}\limits_{(V \to U) \in \mathsf{C}_{/U}^{(0)}} \text{よ}(V) \to S \quad \textsf{in} \quad \mathsf{P}(\mathsf{C})

が得られる。 これが同型射であることを示すには、各点で全単射なことを言えばよい。全射性も単射性も直接愚直に示せる。

主張 A の証明 :

  1. 随伴 L⊣ιL \dashv \iota と米田の補題より、Shv(C,J)\mathsf{Shv}(\mathsf{C}, J) において κ\kappa-filtered colimit が pointwise に計算できることを示せばよいことがわかる。 それには、図式を ι\iota で移して P(C)\mathsf{P}(\mathsf{C}) で colimit をとったとき、それが sheaf condition をみたすことを示せばよい。
  2. 上で復習した sheaf condition の FF に sheaf たちの P(C)\mathsf{P}(\mathsf{C}) における κ\kappa-filtered colimit を当てはめると、1 の主張を示すには SS が P(C)\mathsf{P}(\mathsf{C}) の κ\kappa-compact object ならよいことがわかる。
  3. C\mathsf{C} が κ\kappa-small だから、補題 3 の SS を表す colimit は κ\kappa-small colimit である。 各 よ(V)\text{よ}(V) は P(C)\mathsf{P}(\mathsf{C}) の κ\kappa-compact object だから、補題 1 より SS も P(C)\mathsf{P}(\mathsf{C}) の κ\kappa-compact object である。

最後に、命題からしたがう系を述べておきます :

系. κ\kappa を正則基数とする。 位相空間 XX が濃度 κ\kappa 未満の開基をもてば、XX 上の層の圏 Shv(X)\mathsf{Shv}(X) は κ\kappa-presentable である。

系. 位相空間 XX が第二可算であれば、Shv(X)\mathsf{Shv}(X) は ℵ1\aleph_1-presentable である。